Umzug zur 90 jahrigen Mutter in anderes Bundesland

Du bist ja gut. Wie wäre es, wenn du mitteilst, welches Amt du meinst? Und was du unter "wie sich das Amt verhalten muss" verstehst? Wie man umzieht, wirst du ja sicherlich selbst wissen. Man sucht sich eine Wohnung, zieht um, dann meldet man sich beim Einwohnermeldeamt an. Bist du auf staatliche Unterstützung angewiesen (Wohngeld, ALG 2, Sozialhilfe), dann meldet man sich zu Tag X am alten und zum Tag danach am neuen "Amt" an und stellt dann beim neuen Amt seinen Antrag. Ggf. kann man das schon vor Umzug machen, damit die Leistungen zeitnah weiterlaufen.

Im Normalfall dann deinen Regelsatz und die halbe Miete. Es gibt zwar einen sogenannte "Unterhaltsvermutung", aber wenn die Rente so niedrig ist, dass es gerade für sie selbst reicht, dürfte das nicht greifen.