Hallo,
das ist eine schwierige Situation und so wie du den Sachverhalt schilderst, scheint ein Umzug unausweichlich.
Hat deine Freundin denn bereits Leistungen bezogen, du schreibst das sie aufgefordert wurde auf ihre Altersvorssorge aufzubrauchen.
Wenn sie noch keine Leistungen bezog, kann sie natürlich auch ohne Genehmigung der Arge umziehen und einen Antrag in der neuen Stadt stellen, wenn die Voraussetzungen für den Bezug von ALG2 erfüllt sind.
Wenn deine Freundin bereits Leistungen der Arge erhält, ist sie auch Krankenversichert.
Ich würde vorschlagen, das sie einen Psychologen aufsucht und eine Stellungnahme zum Krankheitsbild und der momentanen Situation durch diesen erstellen läßt und erneut einen Antrag auf Umzugsgenehmigung stellt. Eventuell können euch auch Beratungsstellen für psychisch Erkrankte bei der Antragsstellung unterstützen.
Es ist schwer abzusehen, was auf deine Freundin an Leistungskürzungen zukommen würde bei einem ungenehmigtem Umzug.
Die Kaution und die Umzugskosten würden auf keinen Fall übernommen werden, ob weitere Sanktionen auferlegt werden ist von Arge zu Arge unterschiedlich.
Aber Fakt bleibt, deine Freundin wäre krankheitsbedingt wahrscheinlich nicht in der Lage ein monatelanges Tauziehen mit der Arge durchzustehen.
Falls die Möglichkeit besteht, den Umzug und die Kaution selber zu übernehmen, kann dies auch nochmal ausschlaggend für die Bewilligung des Umzugs sein.
Viel Glück