Wenn du bisher mietfrei gewohnt hast, wird man einen jetzt und damit zu Lasten der Allgemeinheit abgeschlossenen Mietvertrag als sittenwidrig ansehen und wohl nicht ankennen, insbesondere, wenn man bedenkt, dass deine Eltern eigentlich für eine Übergangszeit zur Arbeitssuche nach der Ausbildung (die Rechtsprechung geht hier von 6 Monaten aus) dir sogar noch zu Unterhalt verpflichtet sind.
Inwieweit eine Umzugsförderung möglich ist, musst du mit deinem Vermittler klären, hier kommt es u. a. auch darauf an, ob du im Ref. dann als Angestellte zählst oder Beamte auf Probe bist. Denn über Vermittlungsbudget wäre letzteres (Beamtenverhältnis) nicht förderbar, weil es sich dabei nicht um eine in der Arbeitslosenversicherung versicherungspflichtige Tätigkeit handelt. Aber wenn du eh keine Möbel hast, wirst du ja eigentlich auch keine Umzugskosten brauchen, Klamotten passen ja in ein paar Koffer und in ein Auto, oder? Zuschuss zur Ersteinrichtung gibt es nur, wenn du in dem Monat, in dem du eine eigene Wohnung beziehst, hilfebedürftig bist d. h. ALG 2 brauchst. Da das wahrscheinlich erst im Ref. so sein wird, bist du nicht mehr hilfebedürftig, denn das Ref. zählt offiziell noch zum Studium und ist daher "dem Grunde nach" bafögförderfähig (es gibt nur kein Bafög, weil der Anwärter zuviel verdient).
Krankenversichert wirst du ganz normal übers Jobcenter. Jetzt bist du ja sicherlich im Studententarif und dann bist du halt im normalen Grundtarif. Dass dir deine Krankenkasse das nicht sagen kann, verwundert etwas.